Arnaud Arbet studierte zunächst Klavier in seiner Heimatstadt Grenoble, am CNSM von Paris und an der Universität der Künste in Berlin und begann seine professionelle Laufbahn als Solorepetitor am Atelier Lyrique der Pariser Oper. Anschliessend engagierte ihn Gerard Mortier am Teatro Real von Madrid als Solorepetitor und Assistent der musikalischen Leitung wo er mit Dirigenten wie Pierre Boulez, Seiji Ozawa, Sir Simon Rattle, Semyon Bychkov, Ingo Metzmacher, Sylvain Cambreling, François-Xavier Roth und Alejo Pérez arbeitete. Dort dirigierte er seine ersten Konzerte mit dem Symphonischen Orchester von Madrid.
Von 2013 bis 2014 war Arnaud Arbet als Kapellmeister in Chemnitz tätig. Seine Assistenzen führten ihn zu Festivals und Opernhäuser wie die Salzburger Festspiele, die Ruhrtriennale und die Oper von Mailand, Rom und Amsterdam. Zwischen 2014 und 2018 war Arnaud Arbet vom Teatro alla Scala in Mailand als persönlicher Assistent von György Kurtág für dessen neue Oper Fin de partie engagiert.
2018 dirigierte Arnaud Arbet an der Mailänder Scala ein Konzert mit dem Ensemble Bernasconi im Rahmen des Festivals „Milano Musica“. 2021 kehrte er zu diesem Festival mit dem multidisziplinären Projekt FLUXO zurück, wo er Mare Nostrum von Kagel dirigierte.
Eine regelmäßige Zusammenarbeit verbindet Arnaud Arbet mit der Oper Köln : dort dirigierte er Die Eroberung von Mexico von Rihm, Die Soldaten von Zimmermann (Ko-Leiter mit François-Xavier Roth), Mare Nostrum von Kagel, La Scuola de’ Gelosi von Salieri und Carmen von Bizet. 2020 dirigierte er die Uraufführung von Philipp Maintz’ clamitationes colonienses mit dem Gürzenich Orchester in der Kölner Philharmonie.
2023 dirigierte er Offenbachs Hoffmanns Erzählungen an der Norrlandsoperan in Umeå in Schweden. Die Produktion wird auf dem nationalen schwedischen Fernsehen übertragen.
2022 gründete er das Ensemble « Le Seuil Musical » (die musikalische Schwelle), das sich der Musik der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts widmet. Das Ensemble spielte Konzerte in Paris, Berlin, Bamberg und Tokyo.
Seine Kompositionen sind beim Vogelreiter Musikverlag in München erschienen.